他社の取締役を、自社の経営業務管理責任者にできるの？

基本的にはできませんが、常勤性が認められれば可能です。
経営業務の管理責任者には「常勤性」（申請する会社に常に勤務していること）が求められるため、他社で勤務している場合には、原則として管理責任者になることはできません。
しかし、他社に取締役が複数いて、申請する方が代表取締役ではない場合には、管理責任者として認められるケースがあります。
つまり、他社で代表取締役が別にいて、申請する方が非常勤の立場であり、ほとんどの時間を申請する会社で勤務している場合や、他社での業務がわずかである場合には、常勤性が認められ管理責任者となれる場合がございます。